Bra-ket được xây dựng để tận dụng các thao tác đơn giản trong toán học tuyến tính. Một số tính chất cơ bản sẽ được liệt kê dưới đây. c1 và c2 là những số phức tùy ý, c∗ là liên hợp phức của c, A và B là những toán tử tuyến tính tùy ý, các tính chất được liệt kê áp dụng đúng với mọi bra và ket.

Tính tuyến tính

• Vì bra và ket là các hàm tuyến tính

⟨ ϕ | ( c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ ) = c 1 ⟨ ϕ | ψ 1 ⟩ + c 2 ⟨ ϕ | ψ 2 ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }

• Theo định nghĩa phép cộng và nhân vô hướng của hàm tuyến tính trong không gian kép [10]

( c 1 ⟨ ϕ 1 | + c 2 ⟨ ϕ 2 | ) | ψ ⟩ = c 1 ⟨ ϕ 1 | ψ ⟩ + c 2 ⟨ ϕ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }

Tính kết hợp

Với mọi biểu thức với số phức, bra, ket, tích trong, tích ngoài, cùng các toán tử tuyến tính, viết ở dạng braket, cách nhóm không quan trọng:

⟨ ψ | ( A | ϕ ⟩ ) = ( ⟨ ψ | A ) | ϕ ⟩ = def ⟨ ψ | A | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle }

( A | ψ ⟩ ) ⟨ ϕ | = A ( | ψ ⟩ ⟨ ϕ | ) = def A | ψ ⟩ ⟨ ϕ | {\displaystyle (A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |}

và tương tự như vậy. Tính chất này không đúng với những biểu thức chứa các toán tử phi tuyến tính,

Liên hợp Hermit

Liên hợp Hermit, ký hiệu bởi †, được tính dễ dàng hơn dưới biểu diễn bra-ket. Những luật cơ bản là:

• Liên hợp của một bra là ket và ngược lại
• Liên hợp của một số phức là liên hợp phức của số phức đó
• Liên hợp Hermit của liên hợp Hermit của mọi thứ (toán tử tuyến tính, bra, ket, số,...) là chính nó

(x†)† = x

• Với mọi tổ hợp của số phức, bra, ket, tích trong, tích ngoài, các toán tử tuyến tính viết dưới dạng ký hiệu bra-ket, liên hợp Hermit của nó cũng chính là liên hợp Hẻrmit của từng thành phần, nhưng viết với trình tự ngược lại. Ví dụ:

( c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ ) † = c 1 ∗ ⟨ ψ 1 | + c 2 ∗ ⟨ ψ 2 |   {\displaystyle \left(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle \right)^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|~}

⟨ ϕ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | ϕ ⟩   {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle ~}

⟨ ϕ | A | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | A † | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |A^{\dagger }|\phi \rangle }

⟨ ϕ | A † B † | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | B A | ϕ ⟩   {\displaystyle \langle \phi |A^{\dagger }B^{\dagger }|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |BA|\phi \rangle ~}

( ( c 1 | ϕ 1 ⟩ ⟨ ψ 1 | ) + ( c 2 | ϕ 2 ⟩ ⟨ ψ 2 | ) ) † = ( c 1 ∗ | ψ 1 ⟩ ⟨ ϕ 1 | ) + ( c 2 ∗ | ψ 2 ⟩ ⟨ ϕ 2 | )   {\displaystyle \left((c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|)+(c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|)\right)^{\dagger }=(c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|)+(c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|)~}